Площадь криволинейной трапеции

Вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x) и осью Ox на отрезке [a; b] (определённый интеграл).

S = ∫_a^b f(x) dx (f(x) ≥ 0 на [a; b])

Параметры криволинейной трапеции

Функция f(x) (верхняя граница)

Поддерживаются: + - * / ^ **, sin, cos, tan, exp, log (ln), sqrt, pi, e

Нижний предел a

Верхний предел b

Точность (число подынтервалов, метод Симпсона): 1000

Чем больше подынтервалов, тем выше точность, но медленнее расчёт.

Геометрический смысл определённого интеграла

Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], то определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции, осью Ox и вертикальными прямыми x = a, x = b. Расчёт выполняется методом Симпсона (высокая точность).

Важно: Если функция принимает отрицательные значения, классическое определение "площади криволинейной трапеции" не применимо. В этом случае вычисляется интеграл (площадь со знаком), а на графике область ниже оси выделяется другим цветом.

Площадь криволинейной трапеции

Визуализация

Закрашенная область — площадь криволинейной трапеции (выше оси — оранжевым, ниже — красноватым).

Примеры (нажмите для быстрой подстановки)

Парабола y = x²

На отрезке [0; 2] площадь = ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.6667 кв. ед.

Синусоида y = sin x

На [0; π] площадь = ∫₀^π sin x dx = 2 кв. ед. (функция неотрицательна).

Показательная функция

y = eˣ на [0; 1] площадь = e − 1 ≈ 1.71828 кв. ед.

Функция, меняющая знак

y = x³ - 2x на [-1; 2] — интеграл = -0.75, но площадь фигуры между графиком и осью ≈ 2.25 (иллюстрация).