Краевые задачи для ОДУ 2-го порядка: метод стрельбы и конечных разностей | t-teach.ru

T-TEACH.RU

📐 Краевые задачи для ОДУ 2-го порядка

Решение линейных краевых задач методами стрельбы и конечных разностей. Визуализация, таблица значений.

y″ + p(x)·y′ + q(x)·y = f(x), y(a)=α, y(b)=β

Введите коэффициенты p(x), q(x), правую часть f(x) и краевые условия. Калькулятор решает задачу методом конечных разностей (трёхточечная схема) или методом стрельбы.

Параметры краевой задачи

y″ + p(x)·y′ + q(x)·y = f(x)

p(x) — коэффициент при y′

p(x) = 0 — нет первой производной

q(x) — коэффициент при y

f(x) — правая часть

Отрезок [a, b]

—

Краевые условия: y(a) = α, y(b) = β

y(a)= , y(b)=

Количество узлов сетки (N+1)

Больше узлов → выше точность

Метод конечных разностей Метод стрельбы (Рунге-Кутта) Конечные разности — быстрее, стрельба — для нелинейных

Таблица значений y(x)

Пояснения и информация

📈 График решения краевой задачи y(x) на отрезке [a, b]

📚 Примеры (кликните для загрузки)

y″ - y = 0

y(0)=0, y(1)=0 → тривиальное решение y=0

y″ = -2

Парабола: y = x(1-x)

y″ + 4y = 0

y(0)=0, y(π)=0 → y = C·sin(2x)

y″ + 2y′ = 2x

Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Как решаются краевые задачи?

Метод конечных разностей: аппроксимируем производные разностными схемами на сетке x₀,...,xₙ, получаем систему линейных уравнений, которую решаем методом прогонки.
Метод стрельбы: сводим краевую задачу к задаче Коши, подбирая начальный наклон y′(a) так, чтобы выполнялось условие y(b)=β. Используется метод Рунге-Кутты и метод Ньютона для поиска параметра.
Краевые условия первого рода (заданы значения функции) — наиболее распространённый случай.