Коэффициенты уравнения
· y″ + · y′ + · y =
0 — однородное уравнение. Поддерживаются: число, x, x², exp(kx), sin(ωx), cos(ωx), комбинации
y(0) = , y′(0) =
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям
—

Характеристическое уравнение и тип

Пошаговое решение

Общее / Частное решение

📈 График решения с заданными начальными условиями (красная кривая). Синяя штриховая — огибающая или поведение.

📚 Примеры (кликните для загрузки)

y″ + y = 0

Гармонические колебания: y = C₁·cos(x) + C₂·sin(x)

y″ - y = 0

Корни ±1: y = C₁·eˣ + C₂·e⁻ˣ

y″ - 3y′ + 2y = e³ˣ

Неоднородное, подбор частного решения

y″ + 4y = sin(2x)

Резонанс (правая часть совпадает с частотой)

Как решаются такие уравнения?

1. Однородное: y″ + py′ + qy = 0 → характеристическое уравнение r² + pr + q = 0.
  - D > 0: y = C₁·e^{r₁x} + C₂·e^{r₂x}
  - D = 0: y = (C₁ + C₂x)·e^{rx}
  - D < 0: y = e^{αx}(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx))
2. Частное решение для f(x) = Pₙ(x)·e^{kx}·(sin/cos) подбирается методом неопределенных коэффициентов.