🌊 Уравнения в частных производных
Метод Фурье (разделение переменных) даёт решение в виде ряда. Начальные условия: u(x,0)=f(x), для волнового также uₜ(x,0)=g(x). Граничные условия Дирихле: u(0,t)=u(L,t)=0.
Решение и пояснения
📊 3D-график: x — координата, t — время, u(x,t) — значение. Показана эволюция процесса.
📈 Профиль u(x,t) в выбранный момент времени t (синяя кривая) и начальное условие f(x) (пунктирная).
📚 Примеры (кликните для загрузки)
Волна: основная мода
f(x)=sin(πx), g=0 → стоячая волна u = sin(πx)·cos(πt)
Волна: треугольный профиль
Начальное отклонение в виде параболы
Теплопроводность
Начальная температура sin(πx), затухает как e^{-απ²t}
Тепло: парабола
Начальное распределение температуры
Как это работает?
Метод Фурье (разделение переменных) ищет решение в виде u(x,t)=X(x)·T(t).
Волновое уравнение: u(x,t)=∑ sin(nπx/L)·[Aₙ·cos(ωₙt)+Bₙ·sin(ωₙt)], ωₙ = cnπ/L.
Уравнение теплопроводности: u(x,t)=∑ sin(nπx/L)·Cₙ·e^{-α(nπ/L)²·t}.
Коэффициенты Aₙ, Bₙ, Cₙ находятся из начальных условий через разложение в ряд Фурье.