📊 Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение функции в ряд с заданной точностью. Визуализация приближения многочленом.

f(x) ≈ Σₙ₌₀ᴺ f⁽ⁿ⁾(x₀)/n! · (x−x₀)ⁿ

Ряд Тейлора позволяет приблизить сложную функцию многочленом. При x₀ = 0 ряд называется рядом Маклорена. Чем больше степень N, тем точнее приближение в окрестности точки x₀.

Параметры разложения

Функция f(x)

Поддерживается: + - * / ^, sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, pi, e, abs

Центр разложения x₀ (для Тейлора)

При x₀ = 0 получается ряд Маклорена

Степень многочлена N (0..10)

Чем выше степень, тем точнее приближение

Диапазон x для графика

—

Автоматическое вычисление производных (численное)

Многочлен Тейлора (до N = 5)

—

Погрешность и пояснения

Нажмите "Разложить и построить"

📈 Синяя кривая — исходная функция, красная пунктирная — приближение многочленом Тейлора. Чем выше степень, тем ближе кривые в окрестности x₀.

📚 Примеры (кликните для загрузки)

sin(x) (Маклорен)

sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120. Ряд сходится на всей оси.

eˣ (Маклорен)

eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120

ln(1+x)

ln(1+x) ≈ x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + x⁵/5 (|x|<1)

cos(x) (Маклорен)

cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720

Как это работает?

Калькулятор численно вычисляет производные функции в точке x₀ (до 10 порядка) и строит многочлен Тейлора. Для стандартных функций (sin, cos, exp, ln) коэффициенты совпадают с аналитическими. График показывает, как многочлен приближает исходную функцию. Чем больше степень N, тем шире интервал хорошего приближения.